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  • 大家好,今天是2020年8月10日星期一,數學世界將繼續為大家分享2020年各地的數學中考真題,今天我們來看一道2020年武漢數學中考題,希望能夠對大家的學習有一些幫助!如果你是來到這里的新朋友,請翻看以前的文章,希望能夠大家能夠喜歡。

    例題:如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB為直徑的⊙O交AC于點D,AE與過點D的切線互相垂直,垂足為E.

    求證:AD平分∠BAE;

    若CD=DE,求sin∠BAC的值.

    此題有兩個小題,一般來說第一個小題比較簡單,解決第二小題時可以用到前面一題的結論。我們在做這道題時,要有效利用題中的已知條件,推出解決問題所需要的條件,再針對具體問題進行分析,并結合要求的結論進行思考。接下來,數學世界就與大家一起來完成這道例題吧!

    分析:圓的切線垂直于經過切點的半徑,若出現圓的切線,必連過切點的半徑,得出垂直關系。題中給出了圓的切線,所以連過切點的半徑,連接OD,根據切線的性質得到OD⊥DE,則結合條件可判斷OD∥AE,從而得到∠1=∠ODA,然后利用半徑可以得出∠2=∠ODA,于是得到∠1=∠2,即AD平分∠BAE。

    連接BD,如圖,利用圓周角定理得到∠ADB=90°,再證明∠2=∠3,利用三角函數的定義得到sin∠1=DE/AD,sin∠3=DC/BC,利用等量代換則得出AD=BC。再通過數形結合,設CD=x,BC=AD=y,可以證明△CDB∽△CBA,利用相似比得到比例式x:y=y:,然后求出x、y的關系即可得到sin∠BAC的值。下面,我們按照以上思路解答此題吧!

    解答:證明:連接OD,

    ∵DE為⊙O的切線,

    ∴OD⊥DE,

    ∵DE⊥AE,

    ∴OD∥AE,

    ∴∠1=∠ODA,

    ∵OA=OD,

    ∴∠2=∠ODA,

    ∴∠1=∠2,

    ∴AD平分∠BAE;

    解:連接BD,

    ∵AB為直徑,

    ∴∠ADB=90°,

    ∵∠2+∠ABD=90°,∠3+∠ABD=90°,

    ∴∠2=∠3,

    ∵sin∠1=DE/AD,sin∠3=DC/BC,

    且DE=DC,∠1=∠2=∠3,

    ∴AD=BC,

    設CD=x,BC=AD=y,

    ∵∠DCB=∠BCA,∠3=∠2,

    ∴△CDB∽△CBA,

    ∴CD:CB=CB:CA,即x:y=y:,

    整理得x^2+xy-y^2=0,

    解得x=y/2

    或x=y/2,

    ∴sin∠BAC=sin∠3

    =DC/BC=/2,

    即sin∠BAC的值為/2.

    這道題考查的知識點比較多,包括切線的性質、圓周角定理和解直角三角形等,通過數形結合求出相關線段的數量關系是此題的難點。另外,能夠正確作出輔助線,并能夠熟練運用性質定理是解題的關鍵。溫馨提示:朋友們如果有不明白之處或者有更好的解題方法,歡迎大家在下面留言討論。謝謝!

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